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Der Vater, Friedrich Wilhelm Ludwig Fintelmann, war bereits Königlicher Hofgärtner in Preußen. Ein Cousin, Gustav Adolf Fintelmann (1846–1918), war Hofgartendirektor und Direktor an der Königlichen Gärtnerlehranstalt am Wildpark bei Potsdam. Die Ausbildung als Gärtner erfuhr Fintelmann unter Peter Joseph Lenné in Potsdam.
Von 1896 bis 1904 war Fintelmann Vorstandsmitglied in dem 1887 neu gegründeten Verein Deutscher Gartenkünstler. Von 1898 bis 1907 war er außerdem Mitglied des Kuratoriums der Königlichen Gärtnerlehranstalt Wildpark bei Potsdam (später Gärtnerlehranstalt Berlin-Dahlem).
Mit 63 Jahren setzte sich Fintelmann zur Ruhe, weil er ein schweres Hörleiden hatte.
Fintelmann war verheiratet und hatte einen Sohn (Axel Fintelmann; * 24. Mai 1887 in Berlin, † 18. August 1956 Boffzen). Fintelmann jun. schlug ebenfalls die Gärtnerlaufbahn ein: er besuchte von 1907 bis 1909 die Höhere Gärtnerlehranstalt in Dahlem, legte 1919 die Gartenmeisterprüfung ab und war ab 1921 als Gartentechniker bei der Berliner Gartenbaufirma Franz Späth beschäftigt. Später wechselte er nach Potsdam und Höxter.
Zusammen mit Hermann Mächtig gestaltete Axel Fintelmann ab 1881 den Zentralfriedhof Friedrichsfelde zu einem großen Landschaftspark.
Im Botanischen Garten Berlin gibt die Infotafel auf dem Zentralfriedhof eine Mitwirkung Fintelmanns bei den Planungen zu diesem großen Garten an, doch andere Quellen konnten dazu noch nicht aufgefunden werden.
Fintelmanns Grab steht unter Denkmalschutz und wird sorgfältig gepflegt. Das Relief mit der kupfernen Porträtplatte und einem symbolisierten Baum auf dem Grabmal wurde von dem Bildhauer Albert Manthe 1908 gestaltet und trägt den Untertitel Förderer der Gartenkunst.